Klávesové zkratky na tomto webu - základní
Přeskočit hlavičku portálu

Teorie nekonečna a počet zrzek na jeho hranicích

9. 10. 2014 8:00:00
V mém blogu dnes nebude řeč o nekonečnech fyzických, tedy o nekonečnosti vesmíru.

Ani o singularitě obecné teorie relativity, divergenci v kvantové teorii polí atd., ale o nekonečnech zaváděných v matematice pro lepší pochopení výskytu zrzek na hranicích nekonečna.

K blogu mne inspiroval milý kobloger Jan Řeháček a se svou troškou do mlýna přispěl i jiný skvělý matematik, kobloger Jarek Chudáček, který si dokonce života žádným vzorcem neporadí s mou jednoduchostí a přímočarostí.

Nicméně zpět k zrzkám na hranicích nekonečna! Záludností nekonečna a vztahů diskrétního a spojitého (tedy zrzek a soužití s nimi) si byli lidé vědomi odedávna. Nespal kvůli nim Zenon ve svých paradoxech (želva, letící šíp, atd.). I staří Řekové se množství zrzek v nekonečnu báli. Třeba takový Gauss vyjádřil svůj odmítavě bojácný postoj slovy:

„Protestuji proti použití nekonečných velikostí jako skutečného celku, to není v matematice dovoleno. Nekonečno a počet zrzek na jeho hranicích ... je jen způsob mluvy... “.

Nebo třeba slova slavného Kroneckera:

„Celá čísla stvořil Bůh, vše ostatní je dílo člověka ... a zrzky, ty nám do podvědomí zasel Boháček

A zapomenout nesmíme ani na Poincarého:

„Aktuální nekonečno neexistuje, zrzky na jeho hranicích jsou aktualizovány neustále...“

Základy teorie nekonečných množin se zrzkami na svých hranicích lidstvu přiblížil někdy před před koncem 19. století nešťastný Cantor. Bohatstvím struktur s vnadnými zrzkami zde vytvořených byli ostatní matematici tak fascinováni, že i Hilbert vyjádřil přesvědčení:

„Nikdo nás nevykáže z ráje, který Boháček stvořil a kterýž nám Cantor neuvěřitelně eroticky přitažlivě zprostředkoval.“

Dá se říct, že abyste pochopili, jak to s těmi zrzkami opravdu je, musíte se prokousat třeba nekonečny dvojího druhu. Spočetné nekonečno odpovídá diskrétnímu počítání jednotlivých kusů čehokoliv, tedy i zrzek. Nicméně ... dají se ty zrzky v konečném důsledku vlastností tohoto nekonečna ... opravdu spočítat?:)

Druhé ... nespočetné nekonečno ... odpovídá spíše určité představě kontinua vyjádřeného množinou reálných čísel a které je spjato spíše s geometrií. Ve fyzice pak s měřením těch veličin, jejichž hodnota je vyjádřena délkou nohou zrzky na jeho hranicích, polohou rukou při sexu apod. Ofc i tato množina je přirozeným způsobem lineárně uspořádaná, jako příklad lze uvést plynoucí čas ... v přítomnosti zrzky plyne nekonečně rychle, mimo její přítomnost se nekonečně vleče.

Množina čísel se zrzkami na hranicích nekonečna je opravdu velice bohatá. Zahrnuje čísla přirozená, racionální, iracionální, algebraická i transcendentní ap. Konstrukci od čísel přirozených a racionálních lze vést přes třídy Cauchyovských posloupností či přes Dedekindo výřezy racionálních čísel. Dekadickým rozvojem v cifrách 0 až 9, nebo dvojkově, jako nekonečná posloupnost cifer 0 a 1 lze snadno dokázat (jasně, ne snadno pro každého, ale Cantorovou diagonalizační úvahou), že reálná čísla jsou nespočetná, že je nelze vzájemně jednoznačně přiřadit číslům přirozeným.

Co z toho tedy pro nás plyne? Že bez ohledu na mohutnost nekonečen i jasnou definovatelnost hranic nekonečen ... se skutečnému počtu zrzek na těchto hranicích prostě nejsme schopni matematicky dovzorcovat.

Je nutno podotknout, že intuitivní představy o množinách jako o souborech prvků s určitou vlastností vedly k nepříjemným paradoxům (Burali-Forti, Berry, Russell, Richard...). Přirozená představivost běžných smrtelníků zde zkrátka nestačí a tak se ke slovu konečně ... dostávám já a ... axiomy :)

Z axiomů, tj. z tvrzení přijatých z dobrých důvodů jako základní a pravdivá (chicht, kdo že je král lhářů?), je pak možno vyvozovat a prověřovat pravdy další. Axiomaticky založená teorie množin se stala základem téměř celé matematiky.

Dvě množiny jsou stejně mohutné (mají "stejný počet zrzek na svých hranicích"), existuje-li vzájemně jednoznačné (tj. prosté) přiřazení jejich elementů a proto třeba na úsečce je stejný počet zrzek jako na celé přímce atd. Tyto skutečnosti překvapovaly již Galilea, který byl prokazatelně na brunety.

To, že tedy vlastně část může být v tomto smyslu rovna celku, je právě charakteristikou nekonečných množin; pro konečné množiny se to přihodit nemůže. Některá, zdánlivě různá nekonečna tedy různá vlastně nejsou a přesto je nekonečen mnoho.

Předpokládejme, že množina všech podmnožin dané množiny X, tzv. její potenční množina P(X). má ve srovnání s původní množinou X svoji mohutnost s jistotou větší (důkaz lze vést sporem). Nekonečen je tedy, již z tohoto důvodu, nekonečně mnoho. A žádné není největší. Proto i zrzek na hranicích nekonečen je nekonečně mnoho a v žádném nekonečnu jich není více než v jiném.

Ti, co mi trošku rozumí, ví, že mohou existovat nejméně dvě zcela různé teorie množin, s hypotézou kontinua nebo s její negací. Omezené možnosti formálních axiomatických přístupů ukázal již Gödel svou větou o neúplnosti:

„Každý dostatečně bohatý formální systém je nutně neúplný, už vzhledem k faktu, že nelze stanovit počet zrzek na jeho hranicích.“

Gödelův geniální krok spočívá v myšlence zakódování všech finitních prostředků formální teorie v aritmetice samé (tzv. gödelovské očíslování). Gödelovy výsledky z matematické logiky mají své souvislosti nejen v matematice, ale i v teorii počítání (Turing), v teorii algoritmické složitosti (Chaitin) a jinde. Velice srozumitelně formulovanou úlohou, která odolává důkazu či vyvrácení protipříkladem, je tzv. Goldbachova hypotéza, říkající, že každé sudé číslo se dá nejméně jedním způsobem napsat jako součet dvou prvočísel (kupř. 20=13+7, 22=17+5 atd.). Je snad také tato tak jednoduchá věta z obvyklých axiomů aritmetiky nerozhodnutelná? Nebo jak je tomu s otázkou, zda prvočíselných sousedních dvojčat (jako např. 11 a 13, 17 a 19 nebo 101 a 103 atd.) je nekonečně nebo jen konečně mnoho? Nevíme.

I z toho tedy zkrátka plyne, že počet zrzek na hranicích nekonečna také nevíme. Bez ohledu na to, že víme, jaké ty zrzky jsou :)

Vedle hypotézy kontinua zkusme ještě, slibuji, jako poslední možnost v tomto blogu, nikoliv možnost konečnou v tom nekonečnu možných hypotéz a teorií, rozebrat aspoň trochu tzv. axiom výběru, který říká, že ke každému, i nekonečnému souboru disjunktních neprázdných množin existuje množina reprezentantů (vzorků), vybraná po jednom z každé z nich. Tento výchozí axiom nám tedy vlastně deklaruje existenci množiny zrzek na hranici nekonečna, nedává však návod, jak tuto množinu zkonstruovat. I o něm bylo ukázáno, že nezávisí na axiomech obvyklé teorie množin a je navíc nezávislý i na přijetí či odmítnutí hypotézy kontinua.

Některé jeho důsledky (nebo k němu ekvivalentní tvrzení) nás však opravdu nemile překvapí. Kupříkladu každou množinu lze dobře uspořádat (Zermelo). Nuž, uspořádejme dobře množinu zrzek na hranicích nekonečna ...Návod ovšem nemáme. Proto tento axiom, jak se vyjádřil Russel, je nejprve skoro samozřejmý, poté problematický a nakonec dojdeme k závěru, že nevíme, o čem je vlastně řeč ;)

A to už ani radši nezmiňuji Tarského-Banachův paradox s jeho trojdimenzionální koulí rozdělenou na pět částí, z nichž pak následnými translacemi a rotacemi složíme koule dvě, obě ovšem o původní velikosti a tedy dosáhneme dvojnásobném objemu.

A tak je to i se zrzkami na hranicích nekonečna. Můžete je jako já milovat, můžete je i mne nenávidět ... ale stejně vám nezbyde nic jiného než přijmout fakt...že tu jsem, že je tu množina nekonečen s jasně definovanými hranicemi a na těch hranicích, jsou zrzky, které znám jen já :p

V jistém smyslu je k axiomu výběru alternativní tzv. axiom determinovanosti, který říká (omlouvám se, jsem si vědom faktu, že jsem o něco výše tvrdil, že axiom výběru je poslední, čím vás potrápím):

„Každá, i nekonečná hra na přirozených číslech je determinována, tj. pro jednoho ze dvou protihráčů existuje vyhrávající strategie.“

... btw pro konečné hry lze toto tvrzení dokázat matematickou indukcí. Axiom determinovanosti je s axiomem výběru neslučitelný. Jeho pomocí lze však dokázat hypotézu kontinua.

V teorii množin je diskutováno i mnoho dalších axiomů, především těch, které postulují existenci různě velkých kardinálů. Nedosažitelný, Mahlův (zrzky tam na hranicích jsou, ale sáhnout na ně smrtelníkovi nelze), slabě kompaktní, subtilní, nevýslovný, Ramseyův, měřitelný, silně kompaktní, obří ... a z nich lze dokázat různá tvrzení. Goodsteinovu větu lze třeba dokázat ve standardní aritmetice vybudované v teorii množin se zrzkami. Slabší axiomy Peanovy aritmetiky bez zrzek k jejímu důkazu ale nestačí (nelze ji tu ovšem ani vyvrátit).

No... a co Löwenheimova-Skolemova věta, říkající:

„Každý finitní formální systém má spočetný model.“? (modelem není míněn věk zrzky pozn. překl.)

Nebo třeba deterministický chaos, kde Cantorova množina je fraktál s metrickou dimenzí (Hausdorffovou, podobnostní, Kolmogorovou) Tato množina má Lebesqueovu míru nula a po té co „dorazíme do nekonečna“ narazíme naprosto chaoticky do nekonečně mnoho zrzek. A to si nepřejte zkoumat počty zrzek za předpokladu, že je Cantorova množina zapsána v trojkové soustavě!

Můžeme se počty zrzek snažit dokázat také třeba interpretacemi kvantové mechaniky a celé kvantové fyziky. Kvantové teorie se svými spojitými poli a diskrétními kvanty, kterých se ve svých spekulacích nebojí ani R. Penrose. Můžeme se snažit o cokoliv.

Ale skončíme nejspíše u víry respektive u důvěry v mé tvrzení... že já tam na hranicích nekonečna byl a ... zrzky jsem tam viděl :)

Písmenka věnována s úctou ... dvěma matematikům

Janu Řeháčkovi a Jarku Chudáčkovi,

jejichž blogy lze navštívit prokliknutím jejich jména v této větě :)

Autor: Karel Boháček | čtvrtek 9.10.2014 8:00 | karma článku: 25.63 | přečteno: 1584x

Další články blogera

Karel Boháček

Názory muže za zenitem – 2. Jak často si chlapi navzájem poměřují penisy?

Odpověď na tuhle otázku je opět poměrně jednoduchá, i když nutno přiznat, že přímočarost dotazu je zdánlivě zavádějící.

20.9.2017 v 8:08 | Karma článku: 26.92 | Přečteno: 1981 | Diskuse

Karel Boháček

Názory muže za zenitem – 1. Vyspat se s chlapem na prvním rande ... nebo ne?

Netroufám si tvrdit, zda to ženy doopravdy tak často řeší či nikoliv. Nicméně mediálně se zdá, že v rámci hledání vztahu je to často diskutovaný problém.

13.9.2017 v 13:13 | Karma článku: 31.37 | Přečteno: 4270 | Diskuse

Karel Boháček

Za dobrodružstvím ostrova Marathonisi

Proslulý řecký ostrůvek Marathonisi v Jónském moři je známý i pod názvem Želví ostrov. Jednak pro svůj tvar, druhak si tady kolem jeho břehů můžete i užít pozorování vzácných želv karet.

11.9.2017 v 8:08 | Karma článku: 20.97 | Přečteno: 365 | Diskuse

Karel Boháček

Plavba kolem řeckého ostrova Zakynthos

Zakynthos (anglicky nebo italsky Zante) je ostrov v západní části Řecka. Nachází se v Jónském moři v kraji Jónské ostrovy. Rozloha 410 km2 a délka pobřeží 123 km z něj činí třetí největší ostrov v tomto kraji.

1.9.2017 v 8:25 | Karma článku: 23.50 | Přečteno: 926 | Diskuse

Další články z rubriky Ostatní

Jan Pražák

Horňáci a dolňáci

Kdo by neznal ono klasické dělení nás chlapů podle toho, zda jsme víc okouzleni ženskými ňadry nebo klínem.

22.9.2017 v 21:32 | Karma článku: 8.10 | Přečteno: 190 | Diskuse

Klára Tůmová

To bude veselo!

Ne každé vylepšení je opravdu k lepšímu, ne všechno nové přinese ulehčení a pohodlí. Zvlášť když se vyskytne moucha a všechno jde ne úplně dobrým směrem. Jó, tady bude brzy veselo. Ovšem nebudu to já, kdo se pobaví.

22.9.2017 v 21:04 | Karma článku: 4.84 | Přečteno: 106 | Diskuse

Libuse Palkova

Sex je nás-dělá dobře mně i tobě

Povzbuzena úspěchem předchozí soutěže, týkající se názvu jaderné elektrárny, rozhodla jsem se vyhlásit další. O čem bude, snad dostatečně napovídá nadpis, který jsem si vypůjčila z jedné známé písničky.

22.9.2017 v 19:55 | Karma článku: 8.57 | Přečteno: 469 | Diskuse

Jana Slaninová

Hirudoterapie: jak být kruci sexy v plenkových kalhotkách?

"A příště vám dám pijavky na kostrč." Tak. A mám to mít. Aby se nastartovala činnost lymfy a vylepšilo se fungování mého těla co se týče vnitřních ženských orgánů, musím něco vydržet.

22.9.2017 v 19:50 | Karma článku: 8.65 | Přečteno: 186 | Diskuse

Jaroslav Nedobitý

Odstřelovací puška Ruger 10/22 – malorážka na kontrolu “demonstrantů”

Izrael, Pásmo Gazy roku 2000 – ulice jsou opět plné demonstrujících. Takzvaná druhá intifáda je v plném proudu. Demonstrujících je stále víc a víc, hrozí násilnosti.

22.9.2017 v 15:38 | Karma článku: 13.88 | Přečteno: 705 | Diskuse
VIP
Počet článků 749 Celková karma 23.93 Průměrná čtenost 1117

Facebook Blog iDnes

 

Největší ďáblova lež spočívá v tom, jak nalhává lidem. že ... vůbec neexistuje, 

říká autor knihy

 

Nikdy jsem to s holkama neuměl

 

a blogového projektu

 

Kraťasy

kkkkk



Najdete na iDNES.cz

mobilní verze
© 1999–2017 MAFRA, a. s., a dodavatelé Profimedia, Reuters, ČTK, AP. Jakékoliv užití obsahu včetně převzetí, šíření či dalšího zpřístupňování článků a fotografií je bez souhlasu MAFRA, a. s., zakázáno. Provozovatelem serveru iDNES.cz je MAFRA, a. s., se sídlem
Karla Engliše 519/11, 150 00 Praha 5, IČ: 45313351, zapsaná v obchodním rejstříku vedeném Městským soudem v Praze, oddíl B, vložka 1328. Vydavatelství MAFRA, a. s., je členem koncernu AGROFERT.